Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Математика курс лекций для технических университетов Вещественные числа Рассматривается множество R, со следующими свойствами1. Свойство упорядоченности»a, b либо a < b, либо a = b, либо a > b1.1 a < b, b < c Þ a < c ( свойство транзитивности ) Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a £ b2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в R : "a,b ® a+b.a + b = b + a (коммутативность) ( в терминах суждений можно было бы написать "a:( "b: a + b = b + a) )2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность)2.3 $0, "a Î R : a + 0 = a2.4 "a $ противоположный - a : a + (-a) = 0 2.5 a < b Þ a + c < b + c ,( "c )3. Свойства операций умножения (Имеется отображение "a,b ® ab)3.1 a b = b a (коммутативность)3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность)3.3 $1, "a Î R : 1 a = a 3.4 "a¹0$ a -1(обратный ): a a -1 = 13.5 a < b и c > 0 a c < b c a < b и c < 0 a c > b c 4. Связь операций 4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность )Определение| a | = Свойства | a + b | £ | a | + | b |, | | a | — | b | | £ | a – b |5. Свойство Архимеда «a $nÎN: n > a Следствие: «a>0 «b $nÎ N: na > b6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.Вначале некоторые определения.Отрезок или сегмент — [a,b]={x:a£x£b}, b-a — длинаСистема вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]} называется системой вложенных отрезков, если «k: [ak+1,bk+1]Ì[ak,bk] .Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков. Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 — 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось — изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».Определение. Система отрезков стягивается к 0, если»e>0 $N «n>N: bn-an < eЛемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда"n: an £ x < y £ bn Þ"n: y – x £ bn - an. Возьмем e = y – x. Для него $ N, "n > N: bn — an < e, что противоречит предыдущему неравенству.Примеры работы с символом суммы .Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов Cnk + Cnk-1=, где , n! =1×2×…×n, 0! = 1.====. Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом. При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами. В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар (v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Решение задач по математике