Математика курс лекций для технических университетов

Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Математика курс лекций для технических университетовВерхняя и нижняя грани множества действительных чиселСуществование точной верхней грани у ограниченного сверху множестваТеорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aÎE Примеры решения задач Производная по направлению Интегральное исчисление. Обозначим [a1,b1] правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого отрезка;»xÎE: x £ b1EÇ[a1,b1] ¹ ÆЭту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д.В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам: «xÎE: x £ bkEÇ[ak,bk] ¹ ÆДоказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой . Через [ak+1,bk+1] обозначим правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков bk — ak=(b — a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:1) «xÎE: x £ cПредположим противное: $ xÎE:x>c, возьмем e = x — c,$n:bn — an0 $xÎE: x > c — eДля любого e $n: bn — an < e. Выберем какое либо xÎ[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того c - x £ bn - an < e. Таким образом, найдено требуемое x.Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1< b2 . Положим e = b2 - b1 > 0, по определению точной верхней грани (для b2) $ xÎE: x > b2 — e = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.Замечание. 1. Точная нижняя грань единственна. 2. Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥. Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом. При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами. В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар (v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w). Решение задач по математике