Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Кратные интегралы. Двойной интеграл Свойства определенного интеграла1.Простейшие свойства1) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и(f(x,y) + g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy.Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогдаwk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£ £ sup|f(P¢) — f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k . ОтсюдаS(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk .Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных суммsm(f+g) = sm(f) + sm(g).переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема иc f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и| f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy.Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогдаw¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм|sm(f)|£ sm(|f|).переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk, а wk колебание функции f g на Dk . Выполнено соотношениеf(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) == f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенствоwk £ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция fg интегрируема.Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точку, в которой f(P0)¹0.Для заданного e >0 рассмотрим e-окрестность Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)< e , то для любой интегральной суммы будет справедлива оценка . Это следует из того, что все, возможно отличные от нуля слагаемые суммы попадут в Ue .Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и f1(x,y)dxdy = f2(x,y)dxdy .Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).Замечание. Можно доказать, что справедливо и утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то f(x,y) dxdy £ g(x,y) dxdy .Для сходящейся последовательности интегральных суммsm(f)£ sm(g). Математика MATLAB Электронный учебник Построение графика функций одной переменной В режиме непосредственных вычислений доступны практически все возможности системы. Широко используется, например, построение графиков различных функций, дающих наглядное представление об их поведении в широком диапазоне изменения аргумента. При этом графики строятся в отдельных масштабируемых и перемещаемых окнах. Возьмем вначале простейший пример — построение графика синусоиды. Следует помнить, что MATLAB (как и другие СКМ) строит графики функций по ряду точек, соединяя их отрезками прямых, т. е. осуществляя линейную интерполяцию функции в интервале между смежными точками. Зададим интервал изменения аргумента х от 0 до 10с шагом 0.1. Для построения графика достаточно вначале задать вектор х=0:0.1:10, а затем использовать команду построения графиков plot(sin(x)). Это показано на рис. 3.1. Вектор х задает интервал изменения независимой переменной от 0 до 10 с шагом 0.1. Почему взят такой шаг, а не, скажем, 1? Дело в том, что plot строит не истинный график функции sin(x), а лишь заданное числом элементов вектора х число точек. Эти точки затем просто соединяются отрезками прямых, т. е. осуществляется кусочно-линейная интерполяция данных графика. При 100 точках полученная кривая глазом воспринимается как вполне плавная, но при 10-20 точках она будет выглядеть состоящей из отрезков прямых.