Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Элементы тензорного исчисления Примеры линейных функционаловНулевой функционал f(x)=0 для любого xÎ X.f(x) = для любых x(t)Î C[a,b].Пусть X – n-мерное линейное пространство, ek базис в этом пространстве. Для любого xÎ X существует единственное разложение x = ekx k . Так как коэффициенты этого разложения определяются однозначно, то можно записать x k= f k(x). Таким образом, если x = ek f k(x) , y = ek f k(y) , тоa x+by = a ek f k(x) +b ek f k(y) = ek ( a f k(x) +b f k(y)) , ax+by = ek f k(ax+by) ,откуда следует, что коэффициенты разложения f k являются линейными функционаламиa f k(x) +b f k(y)ek = f k(ax+by).Отметим, что f k(ej) = . Определение. Множество всех линейных функционалов над Х называется сопряженным пространствам и обозначается Х*.Теорема 2. Если Х – конечномерное (размерности n) линейное пространство, то сопряженное пространство Х* также имеет размерность n. Базисом в Х* служит набор функционалов f k.Доказательство. Система функционалов f k(x) линейно независима. Действительно, если сk f k(x)=0 для любого x Î X , то полагая x = ej , получим сk = 0. Это означает линейную независимость функционалов f k(x). Докажем, что любой функционал можно разложить по системе f k(x). Пусть f(x) некоторый функционал и x = ekx k , тогдаf(x) = f(ekx k) = f(ek) x k = сk f k(x).Отметим, что единственность разложения следует из линейной независимости.Определение. x Î X , f Î X* называются ортогональными, если f( x)=0.Определение. Два базиса ek из Х и f k из Х* называются биортогональными (взаимными), если f k( ej) = .Существование взаимного базиса мы ранее доказали. Докажем его единственность. Пусть g j другой взаимный базис g k( ek ) = . Рассмотрим разложение g j(x) по базису f k(x) : g j (x) = f k(x) , если в это равенство подставить x = ei , то получим = g j(ei) = f k(ei) = = . Таким образом g j (x) = f k(x) = f j(x).Определение. В линейном вещественном пространстве Х определено скалярное произведение, если каждой паре x, y из Х поставлено в соответствие вещественное число (x, y) , удовлетворяющее следующим свойствам(x,y) = (y,x)(ax,y) = a(x,y)(x+y,z) = (x,z) + (y,z)(x,x) ³ 0 , (x,x) = 0 Û x = 0. Математика MATLAB Электронный учебник Работа с камерой 3D-графики В отличие от двумерных (2D) графиков форматирование трехмерных графиков содержит ряд дополнительных возможностей. Покажем их на простом примере построения 3D-графики с помощью следующих простых команд: » Z=peaks(40): » mesh(Z); Здесь первая команда создает массив точек поверхности с помощью одного из ряда встроенных в ядро системы MATLAB готовых описаний таких поверхностей. Вторая команда просто строит эту поверхность по опорным точкам с использованием интерполяции для промежуточных точек. Таким образом создается цветная каркасная поверхность, как бы сотканная из разноцветных проволок. На рис. 3.20 показано построение этой поверхности вместе со специальной панелью инструментов трехмерной графики, названной в оригинале Camera (Камера). Несмотря на множество кнопок, пользование панелью инструментов 3D-графики достаточно просто, если представить себе, что вы смотрите на предмет через объектив фотокамеры. Наглядные рисунки на кнопках поясняют смысл их действия — это перемещение и вращение 3D-рисунков относительно тех или иных координатных осей, включение отображения перспективы, изменение цветовой схемы и др. Рис. 3.21 показывает, что приемы форматирования двумерной графики можно использовать при работе с трехмерной графикой — вывод надписи на график, вывод легенды (кстати, теперь объемной) и шкалы цветов. Для управления положением и вращением трехмерного графика можно использовать клавиши перемещения курсора. Эффект вращения графика иллюстрирует рис. 3.22, где показан график рис. 3.21 после его поворота при нажатой клавише —>. В отличие от поворота мышью (также возможного) перемещение и повороты с помощью клавиш курсора при выбранном типе перемещения дают плавное перемещение или вращение фигуры. Таким образом осуществляется анимация (оживление) трехмерной графики.