Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Формула СтоксаУсловия независимости криволинейного интеграла от пути интегрированияЛемма. Для того, чтобы интеграл (V, ds) (3)не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А , В ) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (3) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего в области. Определение. Область D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г, лежащей в D можно указать ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г. Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностно односвязной областью.Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (3) не зависел от пути в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.Доказательство. Достаточность следует из формулы Стокса и сформулированной леммы. Необходимость. Предположим противное, существует точка М0 (её можно считать внутренней точкой области D), где rot V ¹ 0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет отлична от нуля. Пусть, например, Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполнятся условие и которая будет лежать в D. Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0 обозначим (круг радиуса e), ориентированный ортом оси y , а его границу – через (окружность) , ориентированную обходом против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси y.По формуле Стокса (V, ds) = > , что противоречит условию теоремы.Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (3) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области D , необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение было полным дифференциалом Pdx+Qdy+Rdz = du.Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то , , . Откуда следует, что rot V =0 .Необходимость. Определим функцию u по формулеu(x,y,z) = (V, ds) ,где М0(x0, y0, z0) – фиксированная точка в области D , а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки М0 и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. , , . Вычислим производную непосредственно по определению.Для отрезка ММ¢ используем параметризацию. Тогда(u(x+Dx,y,z) — u(x,y,z))/Dx = = =P(x+qDx,y,z), откуда и следует требуемое соотношение. Математика MATLAB Электронный учебник Форматирование линий графиков MATLAB имеет возможность легко настраивать и корректировать свойства графиков с помощью специальных средств. В новой версии MATLAB 6.0 они существенно изменены. Так, в предшествующей версии для настройки (форматирования) графиков использовался специальный редактор свойств — Graphics Properties Editor (Редактор свойств графики). Его можно было вызвать из меню File окна командного режима MATLAB с помощью команды Show Graphics Properties Editor (Показать редактор свойств графики). В новой версии MATLAB форматирование графиков стало более строгим и удобным. При этом ранее упомянутый редактор свойств графиков перестал так именоваться, и команда Show Graphics Properties в новой версии отсутствует. Ее заменяют команды Figure Properties (свойства фигуры) и Axis Properties (свойства осей) со всеми необходимыми настройками. При построении графиков появляется графическое окно. Иногда оно бывает скрыто ранее имеющимися окнами как системы MATLAB, так и других работающих в среде Windows 95/98/Me/2000/NT4 приложений. Если вы не увидели графика, заданного для построения, то поищите его в списке открытых окон (приложений), нажимая клавиши Alt + Tab, и выберите из списка нужное окно. Окна графики имеют изображение логотипа системы MATLAB. По умолчанию они выводятся с панелью инструментов с рядом кнопок вполне очевидного назначения.