Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Кратные интегралы. Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Изменение площади при отображениях.Рассмотрим отображение и его обратное удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями x=const, h=const плоскости x, h (см. ch1_7_2.swf). Обозначим для краткости x=x(x,h), y=y(x,h), тогдаx(x +Dx ,h)= x +Dx + o(r), y(x +Dx ,h)= y +Dx + o(r),x(x ,h +Dh)= x +Dh + o(r), y(x ,h +Dh)= y +Dh + o(r),x(x +Dx , h +Dh)= x +Dx +Dh + o(r),y(x +Dx , h +Dh)= y +Dx +Dh + o(r).Для вычисления площади фигуры с вершинами A(x,y), B(x(x +Dx ,h), y(x +Dx ,h)), C(x(x +Dx , h +Dh), y(x +Dx , h +Dh)), E( x(x ,h +Dh), y(x ,h +Dh)) рассмотрим параллелограмм A=A¢, B¢, C¢, E¢ с координатами вершинA¢=A=(x,y), B¢=( x +Dx, y +Dx), C¢=( x +Dx +Dh, y +Dx +Dh), E¢=( x +Dh, y +Dh) (см. ch1_7_3.swf ).Этот параллелограмм построен на векторах A¢B¢, A¢C¢,a=A¢B¢ = ( Dx,Dx), b=A¢C¢ = ( Dh, Dh). Поэтому его площадь равна½[a,b]½==DxDh.Вершины A,A¢, B,B¢, C,C¢, E,E¢ отличаются на o(r). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(r2)m(A¢,B¢,C¢,E¢)=DxDh+ o(r2).Отсюда, в свою очередь, следует, что площадь области D будет равнаmD== (4).Докажем последнее равенство для случая, когда область S представляет собой квадрат [a,b]´[a,b] (см. ch1_7_22.swf). Разобьем S на равные части линиями x=xi , h=hj . В этом случае Dxi=xi+1 — xi = (b — a)/n , Dhj=hj+1 — hj = (b — a)/n , r==(b — a)/n, mD=.Можно показать, что последнее слагаемое является бесконечно малой при n®¥. откуда и следует равенство (4).Замечание. Выражение dxdy иногда называют элементом площади в плоскости x,y, а выражение dxdh — элементом площади в плоскости x, h. Равенство (4) позволяет говорить, что модуль якобиана является коэффициентом искажения площади при данном отображенииdxdy = dxdh. Математика MATLAB Электронный учебник Построение графика функций одной переменной В режиме непосредственных вычислений доступны практически все возможности системы. Широко используется, например, построение графиков различных функций, дающих наглядное представление об их поведении в широком диапазоне изменения аргумента. При этом графики строятся в отдельных масштабируемых и перемещаемых окнах. Возьмем вначале простейший пример — построение графика синусоиды. Следует помнить, что MATLAB (как и другие СКМ) строит графики функций по ряду точек, соединяя их отрезками прямых, т. е. осуществляя линейную интерполяцию функции в интервале между смежными точками. Зададим интервал изменения аргумента х от 0 до 10с шагом 0.1. Для построения графика достаточно вначале задать вектор х=0:0.1:10, а затем использовать команду построения графиков plot(sin(x)). Это показано на рис. 3.1. Вектор х задает интервал изменения независимой переменной от 0 до 10 с шагом 0.1. Почему взят такой шаг, а не, скажем, 1? Дело в том, что plot строит не истинный график функции sin(x), а лишь заданное числом элементов вектора х число точек. Эти точки затем просто соединяются отрезками прямых, т. е. осуществляется кусочно-линейная интерполяция данных графика. При 100 точках полученная кривая глазом воспринимается как вполне плавная, но при 10-20 точках она будет выглядеть состоящей из отрезков прямых.