Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов»

Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Кратные интегралы. Двойной интеграл Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m,M] : = c mD.Доказательство (для случая mD¹0). m mD =dxdy £ £ dxdy = M mD. Откуда и c=.Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD: dxdy = f(x)mD.Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и dxdy = dxdy + dxdy .Доказательство. Пусть D¢ — разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D¢) . В этом случае S(f,D¢) –s(f,D¢) £ S(f,D)-s(f,D) , откуда следует интегрируемость на D1. Аналогично доказывается интегрируемость на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, D¢ m,X m), s( f,D¢¢ m, X m) для D1 и D2 и их объединение Dm = D¢ m +D¢¢ m. Для таких сумм получимs( f,Dm, X m) = s( f, D¢ m, X m) + s( f,D¢¢ m, X m).Переходя к пределу в последнем равенстве получим требуемое соотношение.Теорема (Неравенство Коши-Буняковского)Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство.Доказательство. 0£=+2+l2. Так как это справедливо для любых l, то -£ 0, откуда и следует требуемое неравенство. Математика MATLAB Электронный учебник Построение графика функций одной переменной В режиме непосредственных вычислений доступны практически все возможности системы. Широко используется, например, построение графиков различных функций, дающих наглядное представление об их поведении в широком диапазоне изменения аргумента. При этом графики строятся в отдельных масштабируемых и перемещаемых окнах. Возьмем вначале простейший пример — построение графика синусоиды. Следует помнить, что MATLAB (как и другие СКМ) строит графики функций по ряду точек, соединяя их отрезками прямых, т. е. осуществляя линейную интерполяцию функции в интервале между смежными точками. Зададим интервал изменения аргумента х от 0 до 10с шагом 0.1. Для построения графика достаточно вначале задать вектор х=0:0.1:10, а затем использовать команду построения графиков plot(sin(x)). Это показано на рис. 3.1. Вектор х задает интервал изменения независимой переменной от 0 до 10 с шагом 0.1. Почему взят такой шаг, а не, скажем, 1? Дело в том, что plot строит не истинный график функции sin(x), а лишь заданное числом элементов вектора х число точек. Эти точки затем просто соединяются отрезками прямых, т. е. осуществляется кусочно-линейная интерполяция данных графика. При 100 точках полученная кривая глазом воспринимается как вполне плавная, но при 10-20 точках она будет выглядеть состоящей из отрезков прямых.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *