Примеры решения задач на вычисление производной и дифференциала Вычислить объем Вычислить площадь фигуры Пересечение сферы фронтально — проецирующей плоскостью Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Общая архитектура Windows NT Ссылка в качестве возвращаемого значения МатематикаСпособы декодирования Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функцииСоздание и редактирование стилей Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интегралМетоды расчета Интегральное исчислениеСборник задач по ядерной физикеВекторный анализ Кратные интегралы Математический анализ Курсовые расчеты Администрирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Передача дискретных данных по линиям связи Интерфейс Панель управления Импрессионизм Консоль управленияГлобальные радиоактивные осадки Файловые системы FAT и FAT32 Сетевые службы и сервера AutoCAD LT и аналогичные продукты Служба удаленного доступа Цифро-аналоговое преобразование Введение в маршрутизацию Пересечение прямой линии с конусом Службы Internet Information Services Службы каталогов Учебник Microsoft Access Профессиональное использование Microsoft Access Разработка и сопровождение приложений Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Дистрибутив Конфигурирование X Windows Дополнительная конфигурация Работа с файлами Периферия и мультимедиа Интернет и почта Работа в сетях Windows и Novell Сервер Web Информационные источники Мгновенная скорость при прямолинейном движении Пусть материальная точка движется по координатной прямой , и её положение в момент времени имеет координату . Средняя скорость точки за произвольный промежуток времени , за который точка перемещается из положения в положение , определяется как . Если мы обозначим протекший промежуток времени через , то и , поэтому , при . Примеры решения задач Интеграл произведения синусов и косинусов Интегральное исчисление. Мгновенная скорость точки в момент определяется как предел средней скорости за промежуток времени от до (), при условии . Таким образом, получаем формулу, служащую определением мгновенной скорости в момент :Касательная к кривой на плоскости ОпределениеПроизводная ЗамечаниеТеорема Свойства производных Крито-микенское искусство Крито-микенская цивилизация в исторической науке имеет и другие названия: эгейская или минойско-микенская. В художественной культуре древности крито-микенскому искусству принадлежит одно из самых почетных мест. Два его виднейших центра — остров Крит и город Микены в Южной Греции (полуостров Пелопоннес) — дали название этому искусству, но оно включало в себя творения большого региона, от Балканской Греции и островов Эгейского моря до побережья Малой Азии.Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке , замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования. Теорема 4.2 Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда функции , , , а в случае также имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами: ЗамечанияПроизводные некоторых элементарных функций Найдём производную функции в точке .Рассмотрим функцию как отношение ПримерыДифференциал Производная композиции Пусть и — такие числовые функции, что определена их композиция . Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки , а функция — в некоторой окрестности точки . Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 4.4 Если функция имеет производную , а функция — производную , то композиция имеет производную ПримерыПримеры Инвариантность дифференциалаПроизводная обратной функцииПроизводные некоторых элементарных функций (продолжение) ПримерСводка основных результатов о производныхПроизводные высших порядков ПримерДифференциалы высших порядков и их неинвариантность Производные функции, заданной параметрически Производная функции, заданной неявно Приближённое вычисление производных При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции , поскольку аналитические формулы, задающие , неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции . Для приближённого нахождения в заданной точке часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях разностное отношение мало отличается от своего предельного значения, равного производной , мы можем приближённо заменить этим разностным отношением с малым , полагая , например, равным или . Таким образом, получаем приближённую формулу Примеры и упражненияПримеры и упражнения 2 Свойства дифференцируемых функций Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Теорема ФермаТеорема РолляТеорема ЛагранжаТеорема КошиПравило Лопиталя а основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых. ЗамечанияПравило Лопиталя для отношения бесконечно большихСравнение бесконечно больших величин ПримерыПримеры Пример 5.10 Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна справа в точке . Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену : поскольку, как мы выяснили выше, экспонента растёт быстрее при . Во всех остальных точках производная вычисляется с помощью правил дифференцирования: При это выражение имеет предел поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе. Таким образом, получили, что , то есть производная оказалась непрерывной справа в точке . Из того, что функция — нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции , если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках , причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева. Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задачСистемы координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.Полярная система координат Уравнение кривой в полярной системе координатЦилиндрическая и сферическая системы координатАналитическая геометрия в пространстве Параметрическое уравнение прямойУравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде: Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра