Пример расчета разветвленной цепи постоянного тока
 |
В качестве примера приводится расчет электрической цепи, схема которой приведена на рисунке 11.
Исходные данные:
Е1 = 10В; Е2 = 10В; Е3 = 8В;
R1 = 4Ом; R2 = 10Ом; R3 = 1Ом;
R4 = 5Ом; R5 = 5Ом; R6 = 2Ом; R7 = 2Ом.
Метод контурных токов
В схеме три узла и пять ветвей. Число независимых контуров
k = b-y+1 = 5-3 +1 = 3.
Составляем для каждого контура уравнения по второму закону Кирхгофа.
Контурные токи I11, I22, I33, направляем по часовой стрелке.
Собственные сопротивления контуров:
R11 = R1 + R4 + R5 = 5 + 5 + 4 = 14Oм;
R22 = R2 + R6 + R5 = 5 + 10 + 2 = 17Oм;
R33 = R6 + R7 + R3 = 2 + 2 + 1 = 5Ом.
Сопротивление смежных контуров
R12 = R21 = –5Ом; R13 = R31 = 0; R23 = R32 = –2Ом.
Контурные э.д.с.
Е11 = –Е1 = 10В; Е22 = Е2 = 10В; Е33 = Е3 = –8В.
Учитывая эти обозначения, система уравнений контурных токов следующая:
I11R11 – I22R22 + 0 = E11;
–I11R21 + I22R22 – I33R23 = E22;
0 – I22R32 + I33R33 = E33.
Подставим известные значения сопротивлений, э.д.с. в систему уравнений, решаем по методу Крамера.
14I11 – 5I22 + 0 = –10;
–5I11 + 17I22 – 2I33 = 10;
0 – 2I22 + 5I33 = –8.
Определитель системы:
14 –5 0
Δ = –5 17 –2 = 1009.
0 –2 5
Частные определители:
–10 –5 0
ΔI11 = 10 17 –2 = –640;
–8 –2 5
14 –10 0
ΔI22 = –5 10 –2 = 227;
0 –8 5
14 –5 –10
ΔI33 = –5 17 10 = –1524.
0 –2 –8
Токи в контурах:
I11 = ΔI11 / Δ = –640 / 1009 = –0,635A;
I22 = ΔI22 / Δ = 227 / 1009 = 0,225A;
I33 = ΔI33 / Δ = –1524 / 1009 = –1,51A.
Токи в ветвях схемы определяем по полученным значениям контурным токов:
I1 = I11 = –0,635A; I2 = I22 = 0,225A; I3 = I33 = –1,52A;
I5 = I11 – I22 = –0,635 – 0,225 = –0,86A;
I6 = I22 – I33 = 0,225 – (–1,52) = 1,74A.
Проверку правильности решения системы уравнений проверяем путем подстановки полученных значений контурных токов в первое уравнение системы уравнений
14 · (–0,635) – 5 · 0,225 = –10,
–10 = –10.
Метод непосредственного применения уравнений по законам Кирхгофа
На схеме рисунка 12 показываем направления обхода контуров пунктирной линией, а также пронумеруем узлы – 1, 2, 3. В схеме указаны направления токов в ветвях.
Схема содержит три узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа следует составить 3 – 1 = 2 уравнение для узлов (узлы 1, 2):
1) I1 = I2 + I5;
2) I5 + I6 + I3 = I1.
Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа (контуры 1, 2, 3):
3) I5R5 + I1R1 + I1R4 = –E1;
4) I2R2 + I6R6 – I5R5 = E2;
5) I3R3 + I3R7 – I6R6 = –E3.
 |
Решая заданную систему уравнений, подставив известные значения э.д.с. и сопротивлений, находим известные токи.
Метод эквивалентного генератора
 |
В схеме рисунка 11 необходимо определить ток I2. Для этого убираем ветвь с сопротивлением R2 и E2. Изменённая схема показана на рисунке 13.
Определим напряжение холостого хода U12 между точками 1 и 2
U12 = –I6R6 + I5R5.
Неизвестные точки определим по методу контурных токов:
I11 (R5 + R1 + R4) = –E1;
I22 (R6 + R3 + R7) = –E3;
I11 = –E1 / (R5 + R1 + R4) = –10 / 14 = –0,714A;
I22 = –E2 / (R6 + R3 + R7) = –8 / 5 = – 1,6A.
Токи в ветвях схемы
I5= I11= –0,714A; I6= –I22= 1,6A.
Напряжение холостого хода U12
U12 = –I6R6 + I5R5 = –1,6 · 2 + (–0,714) · 5 = –6,77В.
Определяем внутреннее сопротивление электрической цепи, закорачивая источники э.д.с. (рисунок 13)
R’ = R5 (R4 + R1)/(R4 + R1 + R5) = 5·(5 + 4)/(5 + 4 + 5) = 3,21Ом;
R» = R6 (R3 + R7)/(R3 + R7 + R6) = 2·(1 + 2)/(1 + 2 + 2) = 1,2Ом;
Rвн = R’ + R» = 3,21+1,2=4,41Ом.
Искомый ток в исследуемой ветви
I2 = (Uхх + E2) / (Rвн + R2) = (–6,77 + 10) / (4,41 + 10) = 0,225А.
Потенциальная диаграмма
 |
Построим потенциальную диаграмму для контура 1, 2, 3, 4
(рисунок 14)
Произвольно примем потенциал точки 2 равным нулю
φ2 = 0.
Эту точку на потенциальной диаграмме поместим в начало координат.
Потенциал последующих точек в рассматриваемом контуре:
φ3 = φ2 – E1 = –10В;
φ4 = φ3 – I1R1 = –10 – (–0,635) · 4 = –7,4В;
φ1 = φ4 – I1R4 = –7,4 – (–0,635) · 4 = –4,32В;
φ2 = φ1 – I5R5 = –4,32 – (–0,86) · 5 = 0В.
 |
Выбираем масштаб осей сопротивления и потенциала.
mR = 2Ом/см; mφ = 2В/см.
Литература
Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебное пособие для вузов. – 4‑е изд.; перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 427с.
Герасимов В.Г. Электротехника: Учебник для вузов. – 3‑е изд.; перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1985. – 471с.
Волынский Б.А. и др. Электротехника: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 510с.
Борисов Ю.М., Липатов Д.Н. Общая электротехника. – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с., ил.
Анвельт М.Ю. и др. Общая электротехника. /Под ред. В.С. Пантюшина. – М.: Высшая школа, 1977. – 568 с., ил.
Анвельт М.Ю. и др. Сборник задач по электротехнике и основам электроники. /Под ред. В.С. Пантюшина. – М.: Высшая школа, 1978. – 333 с., ил.
Константинов В.И. и др. Сборник задач с решениями по общей электротехнике. /Под ред. В.К. Пономаренко. – М.: Высшая школа, 1972. – 184 с., ил.
Боревич З.И. Определители и матрицы. – Л.: ЛГУ, 1965. – 164 с.