Сопротивление материалов Расчетно-графическое задание Сопротивление материалов примеры решения задач Пример решения задания К2 Точка М движется по образующей кругового конуса так, что расстояние ОМ изменяется по закону ОМ = S(t) = 80 (1– cos2) (S – в см, t – в сек). Конус вращается вокруг своей оси ОА по закону φ = 5t — t2 (φ – в рад, t – в сек). Угол при вершине конуса α = 300. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = cек. Решение Точка М совершает сложное движение, которое можно разложить на относительное и переносное. Для этого вводится в рассмотрение подвижная система координат, связанная с движущимся телом – конусом; неподвижная система связана с неподвижной осью вращения. В этом случае движение точки М вдоль образующей конуса будет являться относительным, а уравнение ОМ = S(t) = 80 (1– cos2) — законом относительного движения точки (в дальнейшем будем обозначать Sr, относительное движение задано естественным способом). Движение точки М вместе с конусом в его вращении вокруг неподвижной оси будет являться переносным (переносное движение определяется уравнением φ = 5t — t3, его также будем обозначать с соответствующим индексом φе). Траекторией относительного движения точки М является прямая линия – образующая конуса; траекторией переносного движения является дуга окружности, по которой движется точка конуса, с которой в данный момент времени совпадает точка М. Определим положение точки М на образующей конуса в данный момент времени, для этого подставим время t = cек в уравнение относительного движения Sr(t) Sr = 80 (1– cos2) = 80(1– cos2600) = 80∙ = 60 cм. Изобразим точку М на конусе в заданный момент времени и покажем траекторию переносного движения — окружность. Рисунок 7 Вычислим для данного положения точки величину абсолютной скорости ; для вычислений используем векторную формулу скорости абсолютного движения точки , где — вектор относительной скорости точки, — вектор переносной скорости точки. Относительное движение точки задано естественным способом, поэтому величину относительной скорости находим по формуле = 80 = . Вычислим при t = cек = = 96,68 см/сек. Переносной скоростью точки М является скорость точки конуса, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Конус, вместе с которым точка М участвует в переносном движении, совершает вращение вокруг неподвижной оси, поэтому для вычисления переносной скорости точки воспользуемся формулой для определения скорости точки тела вращающегося вокруг неподвижной оси = ωе · R, где R = ОМ ∙ sin α = Sr ∙ sin 300 – кратчайшее расстояние от неподвижной оси вращения до точки М (радиус траектории переносного движения точки), ωе — угловая скорость переносного движения точки (угловая скорость вращения конуса). Найдем величины R и ωе R = Sr ∙ sin 300 = 60 ∙ 0,5 = 30 см, ωе = = 5 — 3t при t1 = сек ωе = 5 — 3∙ = 2,5 рад/сек, тогда величина переносной скорости точки будет равна = 2,5 ∙ 30 = 75 см/сек. Изобразим на рисунке векторы , , а также вектор абсолютной скорости точки М. Рисунок 8 Величину абсолютной скорости можно найти по теореме косинусов , для чего нужно определить косинус угла между векторами и . Этот угол, как следует из рисунка 8, равен 900; а так как = 0, то исходная формула преображается в известную формулу теоремы Пифагора , при подстановке в нее полученных значений и определяем величину абсолютной скорости точки М = 123,95 см/сек = 1,2395 м/сек, Для определения абсолютного ускорения точки М воспользуемся формулой , где – вектор относительного ускорения, – вектор переносного ускорения, – вектор ускорения Кориолиса. Относительное ускорение при задании движения естественным способом вычисляется по формуле = , где и — соответственно касательная и нормальная составляющие относительного ускорения точки. Вычислим их величины: — касательная составляющая относительного ускорения = = = – 155,806 см/сек2, знак «–» говорит о том, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению вектора относительной скорости ; — нормальная составляющая относительного ускорения = 0, так как траекторией относительного движения является прямая линия (образующая конуса), для которой радиус кривизны = . В результате получаем . Покажем на рисунке вектор Рисунок 9 Переносным ускорением точки М является ускорение точки конуса, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Конус вращается вокруг неподвижной оси, поэтому переносное ускорение точки конуса (а, следовательно, и точки М) вычисляется по формуле , Найдем величины касательной и нормальной составляющих переносного ускорения точки. Для вычисления касательной составляющей используем формулу = . С учетом того, что рад/сек2 (направление углового ускорения конуса противоположно направлению угловой скорости ωе), а R = 30 см, получаем = 3 ∙ 30 = 90 см/сек2 Величина нормальной составляющей переносного ускорения точки равна = = см/сек2. Покажем на рисунке векторы и — составляющие вектора переносного ускорения точки (направление вектора определяется направлением углового ускорения, вектор всегда направлен к центру кривизны траектории переносного движения – в данном случае к центру окружности радиуса R). Рисунок 10 Вычислим величину ускорения Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса находится по формуле = 2ωe·Vr·. Сомножители и в этой формуле известны: = 2,5 сек-1, = 96,68 см/сек, для определения угла покажем на рисунке вектор угловой скорости переносного движения , который при вращении тела вокруг неподвижной оси всегда направлен вдоль оси в ту сторону, смотря из которой вращение видно происходящим против хода часовой стрелки Рисунок 11 Как видно из рисунка угол = α = 300, значит = = 0,5. В результате получаем = 2·2,5·96,68·0,5 = 241,7 см/сек2. Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского, которое гласит, что для определения направления вектора ускорения Кориолиса следует проекцию вектора относительной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения повернуть в этой же плоскости на угол 90о в направлении вращения. Все найденные составляющие вектора абсолютного ускорения точки М изображены на рисунке 12. Рисунок 12 Величину абсолютного ускорения можно найти: — графически (для чего необходимо произвести на чертеже построения всех составляющих векторов в масштабе, найти их геометрическую сумму, измерить и с помощью масштаба определить величину результирующего вектора), — с помощью формулы , где ,и — проекции вектора абсолютного ускорения на оси координат. Из точки М проведем координатные оси x1, y1, z1 и найдем проекции на эти оси вектора абсолютного ускорения точки М (рисунок 13). Рисунок 13 = = 187, 5 + 155,8∙0,5 = 265,4 см/сек2, = = 241,7 – 90 = 151,7 см/сек2 , = = 155,8∙ 0,866 = 134,9 см/сек2. Вычислим абсолютное ускорение точки М = 334,1 см/сек2 = 3,341 м/сек2. Ответ: величина абсолютной скорости = 123,95 см/сек = 1,2395 м/сек, величина абсолютного ускорения = 334,1 см/сек2 = 3,341 м/сек2. Определение реакций опор балки