Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Гиперболоиды Кривые и поверхности второго порядка Определение 13.4 Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид (13.6) где , , — положительные числа. Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.8). Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.9). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду (13.7) где , . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9). Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10. Рис.13.10.Однополостный гиперболоид Если в уравнении (13.6) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.11). Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения Решение задач по математике