Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Гиперболоиды Кривые и поверхности второго порядка Определение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , — положительные числа. Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.12). Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.13). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида. Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду (13.9) где , . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13). Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14. Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис 4.15). Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения Решение задач по математике