Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных раб

Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторовВ разделе «Матрица линейного преобразования» мы выяснили, что каждое линейное преобразование -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае. Теорема 19.2 Пусть — линейное преобразование -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид (19.5) тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования , соответствующими собственным числам . Доказательство. Пусть преобразование имеет линейно независимых собственных векторов , соответствующих собственным числам . Так как векторы линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора . Так как — собственный вектор, то Координатный столбец этого вектора . Второй столбец матрицы является координатным столбцом вектора . Так как — собственный вектор, то Координатный столбец этого вектора . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования в базисе имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана. Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора . Этот вектор имеет координатный столбец , его образ имеет координатный столбец Следовательно, — собственное число преобразования , а — соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор является собственным вектором преобразования , соответствующим собственному числу . Следствие 19.2 Если у матрицы порядка существует набор из линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам , то матрица подобна диагональной матрице с числами на диагонали. Решение задач по математике

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *