Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций математического анализа. Задачи Определение. Элементарными преобразованиями 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ). Миноры. Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы. Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором. Алгебраические дополнения. Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное. Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения. Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению. Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е — единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать: AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i ¹ j, eij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений: , Решив эту систему, находим элементы матрицы Х. Пример. Дана матрица А = , найти А-1. Таким образом, А-1=. Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу: , где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А. Пример. Дана матрица А = , найти А-1. det A = 4 — 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2 Таким образом, А-1=. Решение типовых примеровПример 1. Тело совершает 90 колебаний в минуту, амплитуда колебаний уменьшается вдвое в течение 15 с. Составить дифференциальное уравнение движения. Решение. Так как тело совершает затухающие гармонические колебания, то закон движения имеет видгде — частота колебаний, а период колебаний Из условия задачи следует, что одно колебание тело совершает за 60/90 с. Следовательно, Т=2/3 и Учитывая, что при t=0 амплитуда колебания равна А, а при t=15 с имеем и где А, -произвольные постоянные. Дифференциальное уравнение второго порядка, общим решением которого является x(t) и корни характеристического уравнения имеет вид Решение задач по математике