Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций математического анализа. Задачи Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая. 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая. 3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая. 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающаяВсе эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная {xn} = n – возрастающая и неограниченная. Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая. Найдем член последовательности {xn+1}= Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= , т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать. Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность{xn} = . Найдем . Найдем разность , т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает. Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны. Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ … Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a — e, где а – некоторая верхняя грань множества.Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а — e < xN £ xn, xn > a — e.Отсюда a — e < xn < a + e-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a. Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Решение задач по математике