Электрические цепи постоянного тока
Учебное пособие к расчётно-графической работе для студентов неэлектрических специальностей
1 Основные определения электрических цепей
Электрической цепью называют совокупность устройств, образующих путь для электрического тока. Основными элементами электрической цепи являются источники и приёмники электрической энергии.
Каждой реальной электрической цепи соответствует эквивалентная схема. Схемой электрической цепи является графической изображение электрической цепи, содержащие условные обозначения включённых в ней элементов и показывающие их соединения.
Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятиями ветвь, узел, контур. Ветвью называется участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется точка соединения трех и более ветвей. Контуром электрической цепи называется любой замкнутый путь, образованный ветвями и узлами. Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров схемы, по крайней мере, одной ветвью.
 |
Рисунок 1 в виде примера иллюстрирует схему, содержащую три ветви и два узла.
Метод контурных токов
Метод контурных токов применяется для расчетов токов в сложных цепях с большим числом ветвей и узлов. Метод базируется на применении второго закона Кирхгофа. В основу метода положено понятие о контурных токах, под которыми понимают расчетные (условные) токи, замыкающиеся только по своим контурам. Расчет ведется следующим образом.
В заданной электрической схеме выбирают взаимно независимые контуры. Число независимых контуров в любой электрической схеме равно:
k = b – y + 1, (1)
где b – число ветвей схемы; y – число узлов схемы.
Для выбранных независимых контуров произвольно принимают условно — положительные направления контурных токов в них. (Удобно задать обход контуров в одном направлении, например по часовой стрелке). Положительные направления всех токов следует указать на схеме стрелками.
Затем составляют для выбранных контуров k-уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. Направление обхода контура следует выбрать совпадающим с направлением контурного тока и одинаковым во всех контурах, например, по часовой стрелке. В уравнениях э.д.с. и токи имеют знак «плюс», если направление обхода контура совпадает с направлением э.д.с. и контурного тока.
Полученную схему линейных алгебраических уравнений решают относительно контурных токов. Если в результате решения какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому условно за положительное.
Токи во внутренних (смежных) ветвях схемы равны сумме или разности контурных токов соседних контуров. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу – из большего контурного тока вычитают меньший. Токи во внешних ветвях схемы, по которым протекают токи только одного контура, равны по величине соответствующим контурным токам.
 |
Пример
Пусть в электрической схеме (рисунок 2) заданы величины всех э.д.с. и сопротивлений. Требуется определить токи в ветвях схемы.
В схеме четыре узла e, d, c, m (у = 4) и шесть ветвей eabc, ed, dc, efm, dm, cnm (b = 6). Следовательно, число неизвестных токов равно шести.
Число независимых контуров
k = b — y + 1 = 3
 |
Это контуры abcde, edmf и
dcnm. Обозначаем их на схеме
(рисунок 3) римскими цифрами
I, II, III. Выбираем условно
положительные
направления токов в ветвях и контурах, и обозначаем
их на схеме стрелками.
Составляем для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по движению часовой стрелки.
Контур abcde
0 = (R1 + R2 + R3)·IKI – R2·IKII – R3·IKIII (2)
Контур edmf
E1 – E2 = (R2 + R4 + R5)·IKII – R2·IKI – R5·IKIII (3)
Контур dcnm
E2 = (R3 + R5 + R6)·IKIII – R3·IKI – R5·IKII (4)
Решая совместно уравнения (2), (3), (4), определяем контурные токи. Токи в ветвях схемы равняются:
I1= IKI; I2= IKII – IKI;
I3= IKII – IKI; I4= IKII;
I5= IKIII – IKII; – I6= IKIII.
Уравнения, составляемые для контурных токов, могут быть записаны в обобщенном виде. Для этого суммарное сопротивление, которое оказывает данный контур своему контурному току, обозначают двумя одинаковыми индексами, указывающими номер контура, и называют его собственным сопротивлением контура. Так, собственные сопротивления трех контуров схемы (рисунок 3) равны:
r11= r1+r2+r3;
r22= r2+r4+r5;
r33= r3+r5+r6.
Общее сопротивление смежных контуров обозначают различными индексами, указывающими, между какими соседними контурами включено это сопротивление.
Например, для рассматриваемой схемы:
r12=r21= — r2;
r13=r31= — r3;
r23=r32= — r5.
Учитывая эти обозначения, уравнения (2), (3) и (4) можно переписать в общем виде:
R11. IKI + R12. IKII + R13. IKIII =EI;
R21. IKI + R22. IKII + R23. IKIII =EII; (5)
R31. IKI + R32. IKII + R33. IKIII =EIII.
Правые части уравнений (5) называются контурными э.д.с., величина которых определяется алгебраическим суммированием э.д.с. всех ветвей данного контура. Э.д.с., совпадающие с направлением контурного тока, суммируются со знаком «плюс». В схеме на рисунке 3 контурные э.д.с. равны:
EI = 0; EII = E2 – E1; EIII = E2.
Уравнения контурных токов решают с использованием определителей. Определитель третьего порядка:
r11 r12 r13
Δ = r21 r22 r23 (6)
r31 r32 r33
Он составлен из коэффициентов при неизвестных контурных токах, называется главным определителем системы уравнений (5). Если
Δ = R11·R22·R33 + R21·R32·R13 + R31·R12·R23
– R11·R32·R23 – R21·R12·R33 – R31·R22·R13 ≠ 0,
то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам Крамера
IKn = Δn / Δ, n = 1; 2; 3, (7)
где Δn – определитель, получившийся из Δ заменой n-го столбца свободными членами системы (контурными э.д.с.)
EI r12 r13
Δ1 = EII r22 r23 ;
EIII r32 r33
r11 EI r13
Δ2 = r21 EII r23 ;
r31 EIII r33
r11 r12 EI
Δ3 = r21 r22 EII .
r31 r32 EIII
Следовательно, расчет контурных токов сводится к составлению и вычислению определителей Δ, Δ1, Δ2 и Δ3.