Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралы

Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Математика конспекты Определенные и неопределенные интегралы Непрерывность функции многих переменных .Дальнейшие свойства непрерывных функций.Определение сложной функции или суперпозиции. Пусть задано отображение x = j(t) из TÌ Rm в множество X пространства Rn и отображение u = f(x) из X в R.u = f(x) , xÎXÌRn, x = j(t), tÎTÌRm .В результате последовательного выполнения этих двух отображений получим сложное отображение или функцию:u = f(j(t)), действующую из T в R.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть u = f(x) определена в U(x0) и непрерывна в точке x0, функция j(t) определена в U(t0), непрерывна в t0, x0 = j(t0). Тогда в некоторой окрестности t0 существует сложная функция f(j(t)) непрерывная в точке t0.Доказательство. Как уже ранее отмечалось, непрерывность функции j(t) в точке t0 означает, что «e > 0 $d>0: r(t, t0)0: r(t, t0)< h Þ r(j(t), j( t0)) < a. Следовательно, в окрестности Uh(t0) будет определена суперпозиция f(j(t)). Докажем ее непрерывность. Пусть e > 0 для него $g>0: r(x, x0)< g Þ |f(x) – f(x0)| < e . В свою очередь, для h $d>0: r(t, t0)k (*) .Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из замкнутости D точка x0Î D. Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0). Из (*) следует (|f()|>km), что f()® ¥ . Полученное противоречие доказывает теорему.Терема 2 (Вейерштрасс). Непрерывная на компакте функция достигает своих точных граней.Доказательство. Докажем для верхней грани. Из определения M=sup f(x) для «k $ xk: M-1/k < f(xk) £ M (**) .Последовательность {xk} – ограничена, так как D компакт, поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x0. Из замкнутости D точка x0Î D. Из непрерывности функции следует, что f()® f(x0). Из (**) следует (M-1/km < f() £ M), что f()® M и , таким образом, f(x0) = M ч.т.д.. Решение задач по математике