Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций математического анализа. Задачи Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше. Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали . Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано. z ОМ1 = r; MM1 = h; Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q). Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве. Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j — угол между r и нормалью. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат. Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид: h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = . Решение типовых примеров Пример 1. Найти общее решение уравнения. Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения , так как , , . Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. В этом случае,,. Умножив обе части второго уравнения на sinx, третьего на cosx и сложив, получим . Тогда из второго уравнения следует . Сложив обе части первого и третьего уравнений, найдем . Интегрирование дает:, , . Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид.Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной. В случае сферической системы координат соотношения имеют вид: Решение типовых примеровПример 7. Материальная точка массой m с начальной скоростью движется прямолинейно. На точку действует сила сопротивления направленная в сторону, противоположную направлению движения, и по модулю равная (k-размерный постоянный коэффициент). Определить время от начала движения точки до остановки и путь s — пройденный точкой.Решение. Примем за ось Ох прямую, вдоль которой происходит движение, а за начало координат — начальное положение точки. На точку действует только одна сила следовательно, дифференциальное уравнение движения точки имеет вид.Так как точка движется по прямой, то и уравнение принимает видЕго общее решение Поскольку при t=0 то Следовательно, Так как в момент t (остановки точки) = 0, то отсюда следует, что Для того чтобы найти х как функцию t, полученное частное решение исходного уравнения перепишем в виде Проинтегрировав его, будем иметь .Так как при то Таким образом, Следовательно, в момент остановки пройденный путь . Решение задач по математике