Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты На главную Математика лекции и задачи «Вычисление интегралов» Криволинейные интегралыКриволинейные интегралы 1-го родаОпределение, существованиеРассмотрим спрямляемую кривую g и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Ak}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой D={Ak} . На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(xk , hk , zk ), X={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk . Характеристикой разбиения D назовем величину l(D) = max lk . Составим интегральные суммы следующего видаs(f,D,X)= (1).Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l(D), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается.Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла. Замечание. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается . Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически, tÎ[a, b] (2)Теорема. Если кривая (2) непрерывно дифференцируема без особых точек (x¢ 2+y¢ 2+z¢ 2¹0), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство= (3)Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {tj} отрезка [a, b]. Промежуточные точки qj выберем так , что,соответствующие точки на кривой g обозначим Mj=(xj ,hj )=( x(qj),y(qj) ). Для интегральной суммы получим ==Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.Замечание 1. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора направления порядка точек разбиения {Ak} ( то, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой ). Точки A, B могут совпадать.Замечание 2. Можно использовать эквивалентное определение интеграла первого рода, где в интегральных суммах вместо длины дуги lk используется длина хорды D lk . Покажем эквивалентность этих определений для гладкой кривой. ===+.Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,=. Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет тот же интеграл . Математика MATLAB Электронный учебник Построение в одном окне графиков нескольких функций Более подробное описание графического окна будет дано в уроке 5. А пока пойдем дальше и попытаемся построить графики сразу трех функций: sin(x), cos(#) и sin (x)/х. Прежде всего отметим, что эти функции могут быть обозначены переменными, не имеющими явного указания аргумента в виде у(х): »y1=sin(x); y2=cos(x); y3=sin(x)/x; Такая возможность обусловлена тем, что эти переменные являются векторами — как и переменная х. Теперь можно использовать одну из ряда форм команды plot: plot(a1.f1.a2.f2.a3.f3,…). где al, а2, аЗ,.„ — векторы аргументов функций (в нашем случае все они — х), a f1, f2, f3,… —векторы значений функций, графики которых строятся в одном окне. В нашем случае для построения графиков указанных функций мы должны записать следующее: » plot(x,y1,x,y2,x.y3) Можно ожидать, что MATLAB в этом случае построит, как обычно, точки графиков этих функций и соединит их отрезками линий. Но, увы, если мы выполним эти команды, то никакого графика не получим вообще. Не исключен даже сбой Б работе программы. Причина этого казуса уже обсуждалась в предыдущем уроке — при вычислении функции y3=sin(x)/x, если х представляет собой массив (вектор), то нельзя использовать оператор матричного деления /.