Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Определение и примеры Линейные преобразования Упражнение19.1.1. Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Другими словами, является зеркальным отражением вектора в прямой . Рис.19.5.Преобразование отражения Докажите, что является линейным преобразованием. Дискретная математика Элементы высшей алгебры Комплексные числа Тригонометрическая форма числа Возведение в степень Показательная форма комплексного числаЧисловая последовательность Основные теоремы о пределах Упражнение19.1.2. Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6). Рис.19.6.Преобразование проектирования Докажите, что является линейным преобразованием. Пример 19.3 Пусть — пространство всех многочленов, — преобразование, которое переводит вектор из , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из . Пусть , то есть . Тогда Например, если , то . Покажем, что преобразование является линейным. Пусть , — число. Тогда в силу свойства линейности производной получим Аналогично, Следовательно, — линейное преобразование. Пример 19.4 Пусть — -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис . Тогда у любого вектора есть его координатный столбец . Пусть — квадратная матрица порядка . Определим преобразование следующим образом: является вектором, координатный столбец которого равен (справа стоит произведение матрицы на столбец ). Покажем, что преобразование — линейное. Пусть и имеют координатные столбцы и соответственно, а их образы и — координатные столбцы , и . Тогда Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов . Следовательно, . Пусть — произвольное число. Тогда координатный столбец вектора равен , координатный столбец образа вектора то есть равен числу , умноженному на координатный столбец образа вектора . Поэтому . Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным. Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, . Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, . Действительно, в силу второго из равенств (19.1) Решение задач по математике