Форма-трафарет Садовая дорожка Заработок для студента Заказать диплом Cкачать контрольную Курсовые работы Репетиторы онлайн по любым предметам Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ Магазин студенческих работ Диссертации на заказ Заказать курсовую работу или скачать? Эссе на заказ Банк рефератов и курсовых Математический анализ Функции и их графики Пределы Вычисление производной Возрастание и убывание функции Матрицы Курсовая по Кузнецову Интегральное исчисление Вычисление объемов и площадей Конспект лекций по математике Матрицы Умножение матриц Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено). У читателя может возникнуть законный вопрос: «Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?» Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно «похоже» на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках. Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц. Прежде всего отметим, что умножение матриц — некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы и , что Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение существует, а произведение — нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть , . Тогда то есть . Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: — ассоциативность умножения; , где — число; , — дистрибутивность умножения; , , где — единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл. Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что — матрица размеров . Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Произведение обозначим буквой . Тогда матрица имеет размеры . Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Матрицу обозначим , матрицу обозначим , матрицу обозначим . Покажем, что элементы, стоящие в -ой строке и -ом столбце матриц и , равны друг другу, то есть что . По определению Подставив из второго равенства в первое, получим В силу предложения 14.1 В силу предложения 14.3 (14.6) С другой стороны откуда Применим предложение 14.1 Сравнивая этот результат с(14.6), заключаем, что . Ассоциативность умножения доказана. Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно. Решение задач по математике