Функции и их графики Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Найти производную функции Поверхностью параллельного переноса Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную «режим пользователя» и «режим ядра» Определение функции транслируется компилятором МатематикаСпособы декодирования Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функцииСоздание и редактирование стилей Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интегралМетоды расчета Интегральное исчислениеСборник задач по ядерной физикеВекторный анализ Кратные интегралы Математический анализ Курсовые расчеты Администрирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Передача дискретных данных по линиям связи Интерфейс Панель управления Импрессионизм Консоль управленияГлобальные радиоактивные осадки Файловые системы FAT и FAT32 Сетевые службы и сервера AutoCAD LT и аналогичные продукты Служба удаленного доступа Цифро-аналоговое преобразование Введение в маршрутизацию Пересечение прямой линии с конусом Службы Internet Information Services Службы каталогов Учебник Microsoft Access Профессиональное использование Microsoft Access Разработка и сопровождение приложений Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Дистрибутив Конфигурирование X Windows Дополнительная конфигурация Работа с файлами Периферия и мультимедиа Интернет и почта Работа в сетях Windows и Novell Сервер Web Информационные источники Основные обозначения и определения пример aпример bпример cпример dпример eПервый способ задания функции: табличный примерВторой способ задания функции: с помощью формулы Примеры решения задач Тригонометрическая подстановка Интегральное исчисление. Если множество бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента найти соответствующее ему значение , например: при при при при Замечание 1.3 Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах , считаются различными. Так, функция при и функция при — это две разные функции, так как функция устанавливает соответствие между точками множества и некоторыми точками числовой прямой, а функция — между точками другого множества и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как при всех . Синяя птица Критскую богиню могли олицетворять гора или же дерево. Гора и дерево связывались в умах людей не с конкретными горами и деревьями, а с универсальными, вселенскими символами. Археологи обнаружили золотые перстни-печати, на которых персонажи выдёргивают священное дерево из почвы пример aпример bОбзор некоторых элементарных функций Линейная функцияКвадратичная функцияСтепенная функцияМногочленПоказательная функция (экспонента)Логарифмическая функцияФункция синус косинус тангенс Функция котангенсОбратные тригонометрические функцииАрифметическая прогрессииИнтерфейс и установки PageMakerРабота с текстомРабота с графикойВерсткаРабота с цветомОригинал макетРазвитие Flash-технологийТретий способ задания функции: указание процедуры вычисления Композиция функций Обратная функция Примеры и упражненияУпражненияНепрерывность функций и точки разрыва Определение непрерывности функции Примеры, упражненияОпределение точек разрыва Пример Рассмотрим функцию ,Пример Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и Пример Рассмотрим функцию , заданную равенством Свойства функций, непрерывных в точке Непрерывность функции на интервале и на отрезке ОпределениеПример Рассмотрим функцию на отрезке .Теорема об ограниченности непрерывной функцииТеорема о достижении экстремума непрерывной функцией Равномерная непрерывность Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что , то есть Тем самым непрерывность функции на интервале или отрезке означает, что При этом мы имеем право выбирать число в зависимости от и, главное, от точки . Предположим теперь, что число можно выбрать общим для всех (но, конечно, зависящим от ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по . Дадим теперь такое Определение 3.5 Пусть — некоторая функция и . Функция равномерно непрерывна на , если Примеры, упражнения Непрерывность обратной функции Гиперболические функции и ареа-функции Примеры, упражнения Примеры и упражнения Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи Пример Пример Общее определение предела Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ( или ), от которого зависит изменяющаяся величина ( или ). В случае условия эти множества имеют вид ; в случае — вид ; в случае — вид . Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний— базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, , , и т.п. Таким образом, Итак, база предела— это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если и — два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание , которое содержится в каждом из первых двух: . Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания— непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами. ПримерЗамена переменного и преобразование базы при такой замене ПримерПримерБесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства ПримерПримерПримерОбщие свойства пределов Замечание примерыпримерыУпражнениеСледствие Первый и второй замечательные пределы Пример ТеоремаУпражнение Бесконечно большие величины и бесконечные пределы ПримерИспользование непрерывности функций при вычислении пределов ОпределенияПримерыСравнение бесконечно малых ПримерПримерПримерыТаблица эквивалентных бесконечно малых ПримерУпражнения на вычисление пределов Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен Тейлора Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена . Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция определена в некоторой окрестности некоторой точки и имеет всюду в окрестности производные при . Многочленом Тейлора степени в точке называется такой многочлен степени , такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке , равны соответствующим значениям функции и её производных до порядка в этой же точке: Если это условие совпадения выполнено, то графики функций и , по крайней мере при , близких к , будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство означает, что графики проходят через одну и ту же точку ; равенство означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной — это общий угловой коэффициент касательной); равенство означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д. Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен степени вида Коэффициенты ТейлораОстаток в формуле Тейлора и его оценка Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа Формула Тейлора для некоторых элементарных функций УпражнениеОценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Примеры Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задачЭлементы векторной алгебры Определение Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Линейная зависимость векторов примерыЛинейные операции над векторами в координатах примерыВекторное произведение векторов примерыСмешанное произведение векторовУравнение поверхности в пространстве Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскостиУравнение плоскости в отрезках примеры Тепловое излучение ; Пространственные кривые линии Ethernet Локальные сети Вторая модель Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра