Определение, обозначения и типы матриц Построение поля комплексных чисел Математика Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интеграл Энциклопедия архитектуры Интегральное исчисление Кратные интегралы Математический анализ Курсовые расчеты Администрирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Сетевые службы и сервера Служба удаленного доступа Введение в маршрутизацию Службы Internet Information Services Службы каталогов Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Дистрибутив Конфигурирование X Windows Дополнительная конфигурация Работа с файлами Периферия и мультимедиа Интернет и почта Работа в сетях Windows и Novell Сервер Web Информационные источники Определение Сложение матриц и умножение на число Символ суммирования Замечание Умножение матриц Пример Даны матрицы , . Найдите произведения и . Замечание Докажем дистрибутивность умножения Транспонирование матрицы Определители Предложение При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть . Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. Пример Алгоритм создания нулей в столбце Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю. Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по предложению 14.14 равен . Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен Обратная матрица Пример Найдите обратную матрицу для матрицы . Ранг матрицы Пример Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет. Алгоритм нахождения ранга матрицы Пусть требуется вычислить ранг матрицы размеров . Если матрица нулевая, то по определению . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что . Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число . В результате вторая строка принимает вид Теорема Построение поля комплексных чисел Примеры Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения мы одно решение знаем: . Очевидно, что , поэтому . Следовательно, оба корня такого уравнения известны. Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа Модуль и аргумент Тригонометрическая форма комплексного числа Пусть . Положим , . Из рисунка 17.4 очевидно, что Тогда . Это выражение запишем в виде Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа. Примеры Показательная форма комплексного числа Примеры Извлечение корня из комплексного числа Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения где неизвестным служит , а — известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень -ой степени из комплексного числа Найдите корни уравнения . Корни многочленов Примеры Решите уравнение . Решение. Находим дискриминант: Решим уравнение . Для этого находим . Пусть . Тогда . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на . По формуле (17.15) По формулам половинного аргумента с учетом того, что , получим Таким образом, . По формулам (17.16) Ответ: , . Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена. Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задачКомплексные числаОпределение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.Тригонометрическая форма числаВозведение в степеньПоказательная форма комплексного числаРазложение многочлена на множителиПримерЭлементы высшей алгебры Основные понятия теории множествОперации над множествамиПримерОтношения и функцииАлгебраические структурыДискретная математика Элементы комбинаторикиполиномиальная формулаБином Ньютона.Математическая логикаКонъюнкция ДизъюнкцияИмпликация Эквиваленциятаблицы истинностиБулевая функция Исчисление предикатов Определение. Предикатом P(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.Граф Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.Матрицы графов Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которойМатрица Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Достижимость и связность Определение. Вершина w графа D (или орграфа) называется достижимой из вершины v, если либо w=v, либо существует путь из v в w(маршрут, соединяющий v и w).Деревья и циклы Определение. Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.Элементы топологии Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения. Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.Открытые и замкнутые множества Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU. Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.Непрерывные отображения Определение. Отображение f: E ® F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U) Ì V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.