Непрерывность функции на интервале и на отрезке Пример 3.14 Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и — числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень . Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это — метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной. Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень — единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3). Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень — единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0. Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе. Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть — некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что . Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что . Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале . Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ). Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к . Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то . Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая Лемма 3.1 Пусть — непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех . Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение Доказательство. Поскольку — ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны, а с другой стороны, вследствие непрерывности функции , Значит, , так что точка принадлежит множеству и . В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт откуда , и . Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Зарождение и развитие систем компьютерной алгебры Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т. д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно. Примеры решения задач Свойства Определенный интеграл . К сожалению, книги по этому направлению были способны лишь отпугнуть обычного читателя и пользователя компьютера от изучения возможностей компьютерной алгебры в силу перенасыщенности их узкоспециальным теоретическим материалом и весьма специфического языка описания. Материал таких книг, возможно, интересен математикам, занимающимся разработкой систем компьютерной алгебры, но отнюдь не основной массе их пользователей. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра