Дифференциальное исчисление Определение 4.3 Пусть дана функция , и — внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции Если это приращение можно представить в виде где величина не зависит от приращения , а — бесконечно малая при базе величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается или просто . Таким образом, дифференциал — это функция двух аргументов и , причём от переменного приращения дифференциал зависит линейно ( входит в выражение, задающее , как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у , и, следовательно, при больший, чем у . Поэтому дифференциал — это главная, линейная по , часть приращения функции. Теорема 4.3 Функция имеет дифференциал в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке; при этом функции Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде . Разделим обе части равенства на : При в правой части предел первого слагаемого равен , поскольку эта величина не зависит от и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее, так как, по определению дифференциала, имеет более высокий порядок малости, нежели . Значит, существует предел Но этот предел, по определению, равен производной . Значит, функция имеет производную в точке , и , откуда функции Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции Пусть теперь функция имеет производную . Это означает, что . По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на и получим: Получили представление приращения функции в виде , где , а величина , очевидно, имеет больший порядок малости, чем , поскольку при . Тем самым, функция имеет в точке дифференциал, который имеет вид . Геометрический смысл дифференциала мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная — это угловой коэффициент касательной к графику функции при , то дифференциал — это приращение ординаты точки касательной к графику функции , когда абсцисса точки касательной получает приращение : Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной Замечание 4.6 Заметим, что для функции производная равна 1, так что дифференциал равен , то есть . Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной писать её дифференциал . При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции Замечание 4.7 Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент , от которого зависит линейно, и пишут короче: Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал — это функция двух аргументов и , линейная по . Замечание 4.8 Поскольку для функции дифференциал записывается как , то, деля на , получаем что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас. Компьютерная математика Maple 7 Предисловие Автор данной книги, как и многие почитатели компьютерных вычислений, прошел долгий путь их реализации: от программируемых микрокалькуляторов до работы на малых и персональных ЭВМ, использующих универсальные языки программирования высокого уровня. Это нашло отражение в его ранних книгах [1-3]. Совсем недавно пользователь ЭВМ, решая даже простые численные задачи, был вынужден осваивать основы программирования и готовить кустарные программы, вряд ли нужные кому-либо еще, кроме их создателя. Между тем возможности компьютеров постоянно росли. Сейчас персональный компьютер (ПК) с микропроцессором класса Pentium II, III или 4 намного превосходит по своим возможностям первые ЭВМ, занимавшие целые комнаты и залы. А скорость вычислений нынешних ПК в сотни раз превосходит скорость вычислений легендарных IBM PC XT и AT (первых ПК) и вплотную приближается к скорости вычислений суперЭВМ недавнего прошлого. Примеры решения задач Замена переменных . В связи с этим стал меняться взгляд на назначение компьютера. На первое место вышло применение их для работы с текстовыми процессорами (например, Microsoft Word) и прикладными программными системами для автоматизации офисной деятельности. Увы, при этом многие пользователи стали забывать о том, что ЭВМ изначально создавались для вычислений, а вовсе не для замены ими популярной, но ставшей неудобной пишущей машинки. Развитие мультимедиа привело к бурному применению компьютеров в роли игровых автоматов. В результате главный стимул развития «электронного помощника» создается отнюдь не высокоинтеллектуальными задачами. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра