На главную Функции графики Достаточные условия локального экстремума Достаточные условия локального экстремума В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке. Теорема 7.5 Пусть — критическая точка функции . Если функция не убывает в некоторой левой окрестности точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка — точка локального максимума. Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка — точка локального минимума. Доказательство. Если не убывает в , то при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же, при всех . Выберем из чисел и наименьшее: и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть — точка локального максимума. Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функция не убывает в и не возрастает в ; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции . Замечание 7.4 Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке . Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию , которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке , однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция График этой функции зажат между двумя параболами и и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что не монотонна ни на каком интервале вида или . В точке 0 функция непрерывна (по теореме «о двух милиционерах») и имеет минимум, так как при всех . Заметим кстати, что производная этой функции равна Эта производная имеет в точке разрыв второго рода. Теорема 7.6 Пусть — критическая точка функции , и у этой функции существует производная в некоторой проколотой окрестности . Если при этом в левой окрестности имеет место неравенство , а в правой окрестности — неравенство , то точка — точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство , а в правой окрестности — неравенство , то точка — точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка не является точкой локального экстремума. Доказательство. Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства следует неубывание функции , а из неравенства — её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно. Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом: если производная меняет знак с на при переходе через критическую точку , то в этой точке — локальный максимум функции ; если знак производной меняется с на , то в точке — локальный минимум; если же знак производной при переходе через не изменяется, то локального экстремума в точке функция не имеет. Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной. Теорема 7.7 Пусть — стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная , причём . Тогда при точка есть точка локального максимума, а при — локального минимума. Доказательство. Поскольку , то по определению производной Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любого из некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть при . Поскольку, по предположению теоремы, — стационарная точка, то , откуда , то есть имеет знак, противоположный знаку : при и при . Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что — точка локального максимума. Доказательство для случая совершенно аналогично. Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Что такое визуально-ориентированное программирование Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора . Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области. ;