Примеры решения задач на вычисление производной и дифференциала Математика Задачи на пределы Задачи на производную Задачи на матрицы Энциклопедия архитектуры Администрирование Windows 2000 Сетевые службы и сервера Введение в маршрутизацию Службы Internet Information Services Службы каталогов Оснастка Activ Directory Групповые политики Операционная система Linux Мгновенная скорость при прямолинейном движении Пусть материальная точка движется по координатной прямой , и её положение в момент времени имеет координату . Средняя скорость точки за произвольный промежуток времени , за который точка перемещается из положения в положение , определяется как . Если мы обозначим протекший промежуток времени через , то и , поэтому , при . Мгновенная скорость точки в момент определяется как предел средней скорости за промежуток времени от до (), при условии . Таким образом, получаем формулу, служащую определением мгновенной скорости в момент : Касательная к кривой на плоскости Определение ЗамечаниеТеорема Свойства производных Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке , замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования. Теорема 4.2 Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда функции , , , а в случае также имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами: ЗамечанияПроизводные некоторых элементарных функций Найдём производную функции в точке .Рассмотрим функцию как отношение ПримерыДифференциал композиции Пусть и — такие числовые функции, что определена их композиция . Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки , а функция — в некоторой окрестности точки . Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 4.4 Если функция имеет производную , а функция — производную , то композиция имеет производную ПримерыПримеры Инвариантность дифференциала обратной функцииПроизводные некоторых элементарных функций (продолжение) ПримерСводка основных результатов о производныхПроизводные высших порядков Пример Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность Производные функции, заданной параметрически функции, заданной неявно Приближённое вычисление производных При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции , поскольку аналитические формулы, задающие , неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции . Для приближённого нахождения в заданной точке часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях разностное отношение мало отличается от своего предельного значения, равного производной , мы можем приближённо заменить этим разностным отношением с малым , полагая , например, равным или . Таким образом, получаем приближённую формулу Примеры и упражненияПримеры и упражнения 2 Свойства дифференцируемых функций Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Теорема ФермаТеорема РолляТеорема ЛагранжаТеорема Коши Правило Лопиталя а основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых. ЗамечанияПравило Лопиталя для отношения бесконечно больших Сравнение бесконечно больших величин Примеры Примеры Пример 5.10 Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна справа в точке . Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену : поскольку, как мы выяснили выше, экспонента растёт быстрее при . Во всех остальных точках производная вычисляется с помощью правил дифференцирования: При это выражение имеет предел поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе. Таким образом, получили, что , то есть производная оказалась непрерывной справа в точке . Из того, что функция — нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции , если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках , причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева. Лекции, конспекты, примеры решения задачСистемы координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.Полярная система координат Уравнение кривой в полярной системе координатЦилиндрическая и сферическая системы координатАналитическая геометрия в пространстве Параметрическое уравнение прямойУравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде: Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве