Конспекты по математике Общие свойства пределов Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех из некоторого окончания базы выполняется неравенство . Предположим, что существуют пределы и . Тогда (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства . Доказательство. Рассмотрим функцию . По условию теоремы, , причём Применим к функции теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что , то есть , что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично. Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств ( и ) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел . Очевидно, он равен 0, хотя при любом из любого окончания базы величина строго положительна. Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0 Напомним, что функция называется не убывающей на множестве , если для любых , таких что , выполняется неравенство , и невозрастающей на , если при и выполняется неравенство . Теорема 2.13(о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём . Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел , где числа ограничивают функцию сверху, существует точная нижняя грань ; она-то и будет пределом неубывающей функции. Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 или С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1. Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты : Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз , , , которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная, что при всех . Тогда существует предел , причём . Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что при всех . Тогда существует предел , причём . Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз , , которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная, что при всех . Тогда существует предел , причём . Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Установка систем и их особенности Инсталляция систем Mathematica 3 Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой). Примеры решения задач Функции нескольких переменных . Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3. Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра