Конспекты по математике Функции и их графики Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Во многих случаях функцию приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. Пример 1.17 Пусть и — это наибольший корень уравнения . Этим условием задаётся некоторая функция . Её область определения не пуста, так как, например, при получается уравнение , у которого имеется единственный корень , так что и, следовательно, . Однако ни выразить значение формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения функции не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений , которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению определять значение либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что не принадлежит . функции Додекаэдр — правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции Изменяя число в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения с заданной наперёд точностью и, например, построить график по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция , где , реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки , , и нанося на координатную плоскость точки вида и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения через . Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции по заданным , делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении , вызванной тремя причинами: а) приближённостью задания переменного (погрешностью аргумента); б) приближённостью способа получения значения (погрешностью метода); в) приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления . Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график , согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией , и по другим косвенным признакам. Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Структура систем Mathematica и их идеология Следует отметить, что скромные (в смысле аппаратных требований) версии системы Mathematica 2.2.2 по сей день производятся фирмой Wolfram и используются в основном в системе образования. Они продаются по ценам в несколько раз меньшим, чем последующие реализации 3 и 4. Сейчас версии системы для IBM-совместимых ПК Mathematica 2, 3 и 4 распространяются в России на оптических дисках. Это намного повышает их доступность, хотя нередки случаи поставки не вполне работоспособных систем на дисках сомнительного происхождения. Примеры решения задач Примеры Интегрирование по частям Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций — Kernel. Для ориентации системы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы. В этой главе далее будет описан интерфейсный процессор для ПК с массовыми операционными системами Windows 95/98/NT. Разумеется, интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут иметь свои нюансы, но особых различий с описанным интерфейсным процессором у них нет. Любопытны данные об объеме ядра разных реализаций системы Mathematica, приведенные в книге Стивена Вольфрама: Закон Вина ; Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра