На главную Функции графики Экстремум функции и необходимое условие экстремума Напомним определение локального экстремума функции. Определение 7.4 Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если . Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум. Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции . Теорема 7.4 Если точка — это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то . Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5). Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо 1) , либо 2) производная не существует. Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции . Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции. Пример 7.18 Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки — стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный . Рис.7.21. Пример 7.19 Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна . Все критические точки функции — стационарные; таких точек три: . Записав функцию в виде , легко увидеть, что в точках функция имеет минимум, так как в этих точках выражение обращается в 0, и Если же мы запишем функцию в виде , то убедимся, что точка — точка локального максимума, поскольку при малых выражение положительно, и Рис.7.22. Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.