Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Конус Кривые и поверхности второго порядка Определение 13.6 Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где , , — положительные числа. Замечание 13.1 С математической точки зрения поверхность(13.10) лучше определять с помощью уравнения (13.11) так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины , , , , имеют размерность длины, то в уравнении(13.11) размерности правой и левой части не согласуются. Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение пары прямых на плоскости . Построим эти прямые (рис. 13.16). Сечение плоскостью также является парой прямых с уравнением . Нарисуем и эти прямые (рис. 13.16). Рис.13.16.Сечения конуса координатными плоскостями Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду (13.12) где , . Уравнение(13.12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения (рис. 13.17). Рис.13.17.Изображение конуса с помощью сечений Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.18. Рис.13.18.Конус Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса. Если в уравнении(13.10) , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости , вокруг оси . Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики. Решение задач по математике