Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Примеры решения задач Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале , в формуле (4.3b) — на некотором полуинтервале , а в формуле (4.3c) — на некотором полуинтервале . Функция, имеющая в точке производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке . Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала , называется дифференцируемой на интервале . Пусть теперь — замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , дифференцируемая справа в точке и дифференцируемая слева в точке , называется дифференцируемой на отрезке . Вычислим производную данной функции в различных точках некоторого интервала и предположим, что производная существует при всех . Тогда мы можем задать соответствие между точками интервала и числами и получаем функцию . Эта функция называется производной от функции (или первой производной от ). С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная , то существуют обе односторонние производные (правая и левая ), и . Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, , то существует и производная , совпадающая с их общим значением. В предположении, что производная существует, мы можем теперь сказать, что число задаёт мгновенную скорость изменения координаты при ; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику при : чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью ). Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной Решение задач по математике