Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Базис и размерность пространства Курс лекций Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов. Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1]. Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует. Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность . Доказательство. Возьмем систему векторов Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю: Найти неопределённый интеграл Математика примеры решения задач Преобразуем левую часть: Следовательно, откуда , , . Итак, система векторов — линейно независима. Пусть — произвольный вектор пространства, Очевидно, что Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство — -мерное. Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается . Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность . Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается . Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где — число неизвестных, а — ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3). Решение задач по математике