Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Лекции по математике Таблица эквивалентных бесконечно малых Пример 2.37 Вычислим предел . Для этого в числителе вынесем за скобку , а к знаменателю применим формулу , где , . Получим Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что при ), на эквивалентную величину (учтя, что при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и непрерывны и что и . Пример 2.38 Вычислим предел Заменим в числителе на эквивалентную величину , а знаменатель — на эквивалентную величину . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ: Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при «стандартной» базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями. Пример 2.39 Вычислим предел . Если сделать замену , то при новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в «стандартную» базу . Подставляя и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем: Мы применили табличную формулу , а затем сократили дробь на и получили ответ. Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины. Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу: Здесь мы последовательно воспользовались формулами и учли, что величины , , , являются бесконечно малыми при . Используя полученную в результате эквивалентность мы можем, например, вычислить предел Решение задач по математике