На главную Правило Лопиталя На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых. Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных: Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу : Площадь части криволинейной поверхности считается с помощью поверхностного интеграла Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны : и Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что , где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при : так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим где . Переходя к пределу при , получаем так как при имеем . Итак, оба односторонних предела отношения равны . На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Примеры решения задач Формула прямоугольников Интегрирование по частям