Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Производные некоторых элементарных функций Пример 4.14 Аналогично находится производная гиперболического косинуса : Пример 4.15 Найдём производную гиперболического тангенса . Заметим для начала, что (проверьте!). Далее, имеем: Пример 4.16 Найдём производную гиперболического котангенса . Имеем: Упражнение 4.2 Выведите эти же 4 формулы для производных функций , исходя из того, что это — обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15). Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций. Пример 4.17 Найдём теперь формулу для производной функции при произвольном вещественном . Некоторые частные случаи (при , ) были нами разобраны выше. Итак, пусть , , . Запишем функцию в виде и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом . Получаем тогда Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных. Пример 4.18 Найдём производную функции при При функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку а Рис.4.9. Теперь вычислим производную при : применяя формулу производной сложной функции, получаем Рис.4.10.График производной Заметим, что если бы не разрыв при , эта производная совпала бы с производной функции . Это неспроста: дело в том, что если мы положим то будет совпадать с при всех . В то же время отличается на постоянное слагаемое от при , и поэтому производные у и у одинаковые. Упражнение 4.3 Найдите производную функции Отдельно вычислите производную при (как производную произведения) и производные слева и справа при (пользуясь определением производной, как Решение задач по математике