Функции и их графики Вычисление производной Возрастание и убывание функции Курсовая по Кузнецову Вычисление объемов и площадей Примеры исследования функций и построения графиков Пример 7.40 Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции — вся ось . 2). Функция — нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции — вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет. 4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая . 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: , причём — единственное решение уравнения . Значит, график пересекает сразу и ось , и ось в начале координат. Очевидно, что при и при . 6). Найдём производную: Очевидно, что при всех ; единственная точка, в которой — это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную. 7). Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и , при этом на интервалах и — на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых , то есть точки , являются точками перегиба. 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид: Рис.7.47. Решение задач по математике