Математика курс лекций Интегральное исчисление Математика Исследование функции Задачи на пределы Задачи на производную График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Задачи на матрицы Задачи на интеграл Энциклопедия архитектуры Интегральное исчисление Кратные интегралы Математический анализ Курсовые расчеты Администратирование Windows 2000 Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Первообразная, неопределенный интеграл Интегрирование – обратная задача к дифференцированию. Таблица неопределенных интегралов Два основных метода интегрирования Замена переменного Интегрирование по частям Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование Предварительные сведения из алгебры Разложение дроби на элементарные Метод неопределенных коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональностей Интегрирование дифференциальных биномов Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции Определенный интеграл Интеграл Римана Определения Суммы Дарбу и их свойства Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям отрезка [a,b]. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D). Теорема Дарбу. Классы интегрируемых функций Свойства определенного интеграла Теоремы о среднем, аддитивность по множеству Теорема 2 Теорема 2. Если m £ f(x) £ M на [a,b],f(x), g(x) интегрируемы и g(x) постоянного знака на [a,b], то $ mÎ[m,M] : f(x)g(x) dx =m g(x) dx. Доказательство. Пусть g(x)³ 0. Тогда m g(x) £ f(x)g(x) £ M g(x), откуда m g(x) dx £ f(x)g(x) dx £ M g(x) dx (1) Если g(x) dx = 0 , то из (1) следует, что f(x)g(x) dx = 0 и утверждение теоремы справедливо для любого m. Если g(x) dx ¹ 0 , то поделив выражения в (1) на g(x) dx , получим требуемое соотношение, выбрав в качестве m дробь f(x)g(x) dx / g(x) dx . Теорема 3 Теорема 4 Теорема 5 Определенный интеграл, как функция верхнего предела Производная интеграла по верхнему пределу Формула Ньютона-Лейбница Методы вычисления определенных интегралов Замена переменных в определенном интеграле Интегрирование по частям Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме Некоторые применения определенного интеграла Площадь плоской области Квадрируемые фигуры Свойства площади Площадь криволинейной трапеции Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах. Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения Объем Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты а этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником ( сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). Объединение конечного числа непересекающихся областей такого типа также будет называться многогранником. Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены ( содержаться в некотором шаре ) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать индексом i,Pi описанные Pe . Объем обозначается mP. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда mPi £ mPe . Объем тела вращения Площадь поверхности вращения Первая теорема Гюльдена. Несобственные интегралы Несобственный интеграл первого рода Определение интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на [a,¥) и интегрируема на любом [a,R]. Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел =. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости Несобственный интеграл второго рода Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения Свойства несобственных интегралов Интегрирование по частям Если u(x), v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,+¥) и существуют какие-либо два из трех выражений , , , то существует и третье и= -. Формула замены переменного Функции Эйлера n – мерное евклидово пространство Метрика. Расстояние. Неравенство Коши-Буняковского Геометрическая терминология Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции многих переменных Предел функции Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rn. Если для «xÎD сопоставлено единственное число uÎR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут u=f(x)=f(x1,x2,…,xn), D называется областью определения функции f. Критерий Коши существования конечного предела Свойства пределов Повторные пределы (случай n = 2). Непрерывность функции многих переменных Определение непрерывности и простейшие свойства Кривые в n – мерном пространстве Дальнейшие свойства непрерывных функций Равномерная непрерывность функции многих переменных Дифференцируемые функции многих переменных Дифференцируемость, частные производные функции многих переменных Определение частной производной Геометрическая интерпретация частных производных Простейшие свойства дифференциала Дифференцирование сложной функции Теорема. Пусть u=f(x) дифференцируема в точке x0 = (x10,x20,…,xn0) и функция j(t),t=(t1,…,tm) дифференцируема в точке t0 и x0 = j(t0). Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция F(t) = f(j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t0 и dF = . Инвариантность формы первого дифференциала Производная по заданному направлению Градиент Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности Геометрический смысл дифференциала Частные производные и дифференциалы высших порядков Старшие производные Дифференциалы высших порядков Теорема Лагранжа для функций многих переменных Формула Тейлора для функций многих переменных Экстремумы функций многих переменных Необходимые условия экстремума Достаточные условия для экстремума Теория неявных функция Отображение и его матрица Свойства матрицы Якоби и якобиана Якобиан обратного отображения Неявные функции Существование неявной функции одного переменного Неявные функции многих переменных Неявные функции, заданные системой уравнений Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений Дифференцируемые отображения Дифференцируемость. Производные отображения Регулярные отображения Функциональная зависимость систем функций Необходимые и достаточные условия зависимости функций Условный экстремум Необходимые условия Условный экстремум Достаточные условия